Публикация:
	589. Разработка методов эконометрической поддержки процессов принятия решений при управлении предприятиями высокотехнологичных отраслей промышленности / Орлов А.И., Колобов А.А., Омельченко И.Н., Орлова Л.А. - Отчет по госбюджетной НИР (рукопись). – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 70 с. 

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

УДК 330.115
№ госрегистрации__________
Инв. №____________________
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор – 
проректор по научной работе
МГТУ им. Н.Э.Баумана
д-р техн. наук, проф.

_____________ К.Е.Демихов
“___”_________________200__г.

ОТЧЁТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ  РАБОТЕ

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДДЕРЖКИ ПРОЦЕССОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ ВЫСОКОТЕХНОЛОГИЧНЫХ ОТРАСЛЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
 (заключительный)

НИЧ  1.06.04   

Руководитель НИР
д-р техн. наук, проф.				       _____________  А.И.Орлов

Москва  2004 

СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ

Руководитель НИР, 
докт. техн. наук, профессор 
А.И.Орлов 
(введение, разд.2-4, заключение)

Исполнители:

Заведующий кафедрой,
докт. техн. наук, профессор 
А.А.Колобов
(разд.1-2)

Декан,
докт. техн. наук, профессор 
И.Н.Омельченко
 (разд. 5-6)

Ассистент
Л.А.Орлова 
(разд. 3-4)

Нормоконтролер
О.Н.Косичкин

 РЕФЕРАТ

Отчет 70 с., 43 источника 

ВЫСОКОТЕХНОЛОГИЧНЫЕ ПРЕДПРИЯТИЯ, УПРАВЛЕНИЕ, ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ, ИННОВАЦИИ, ЭКОНОМЕТРИКА, СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ, ОЦЕНИВАНИЕ, ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА, РЕГРЕССИЯ, ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ, НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

	В отчете разработаны и изучены новые эконометрические методы, предназначенные для поддержки процессов принятия решений при управлении предприятиями высокотехнологичных отраслей промышленности.
	Проанализирована новая система внедрения математических методов исследования «Шесть сигм». Получены оценки метода наименьших квадратов в линейной регрессионной модели для интервальных данных. Построены непараметрические интервальные оценки математического ожидания, медианы, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации. Разработаны методы проверки гипотезы однородности двух связанных выборок. Рассмотрены основные идеи теории измерений - шкалы измерения и соответствующий шкалам выбор алгоритмов усреднения. Разработаны экспертные методы сравнения и выбора, в том числе с использованием теории нечетких множеств.
	Результаты НИР предназначены для использования при проведении эконометрических исследований в высокотехнологичных отраслях промышленности, при проведении дальнейших фундаментальных исследований, а также в учебном процессе МГТУ им. Н.Э.Баумана.  

СОДЕРЖАНИЕ
	с.
Введение	6

1    «Шесть сигм» - новая система внедрения математических 
методов исследования 	9
1.1 Основные идеи системы «Шесть сигм» 	9
1.2 Инструменты системы «Шесть сигм» 	10
1.3 В чем новизна системы «Шесть сигм»? 	12
1.4 Шесть основных элементов системы «Шесть сигм»	12
1.5 Проблемы внедрения математических методов исследования 	13

2    Интервальная линейная парная регрессия 	16
2.1 Статистика интервальных данных 	15
2.2 Интервальный линейный регрессионный анализ 	20
2.3 Парная регрессия 	22
2.4 Пример использования интервальной парной регрессии 	25

3    Непараметрическое точечное и интервальное оценивание 
характеристик распределения 	29
3.1 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания 	30
3.2 Точечное и интервальное оценивание медианы 	34
3.3 Точечное и интервальное оценивание дисперсии	35
3.4 Точечное и интервальное оценивание среднего 
квадратического отклонения 	37
3.5 Точечное и интервальное оценивание коэффициента вариации 	39

4    Методы проверки однородности связанных выборок 	42
4.1 Постановка практической задачи 	42
4.2 Заключение по данным, представленным химическим комбинатом 	43
4.3 Система вероятностных моделей при проверке 
гипотезы однородности связанных выборок 	45
4.4 Методы проверки гипотезы симметрии 	48

5    Математические методы исследования и теория измерений 	52
5.1 Основные шкалы измерения 	52
5.2 Требование инвариантности (адекватности) выводов 	55
5.3 Средние по Коши 	55
5.4 Средние величины в порядковой шкале 	57
5.5 Средние по Колмогорову 	58

6    Эконометрическая поддержка контроллинга инноваций 	60
6.1 Этапы контроллинга инноваций 	60
6.2 Эконометрические методы сравнения и выбора 	62
6.3 Использование теории нечеткости 	63

Заключение 	66

Список использованных источников	67

Введение

	Разработка управленческих решений при управлении предприятиями высокотехнологичных отраслей промышленности начинается с анализа ситуаций, а потому предполагает обработку больших массивов конкретных организационно-экономических данных. Очевидна актуальность создания и изучения новых методов эконометрической поддержки процессов принятия решений.
	Цель работы - на основе современной эконометрической теории разработать методы эконометрической поддержки процессов принятия решений при управлении предприятиями в высокотехнологичных отраслях промышленности. Получены новые фундаментальные результаты в проблемах доверительного оценивания характеристик распределения, обнаружения эффекта в модели связанных выборок, для анализа оценок экспертов, в регрессионном анализе интервальных данных, в том числе при изучении зависимости затрат от объема производства. Рассмотрены новые идеи в области организации внедрения математических методов исследования.
	В XXI веке основное внимание исследователей и управленцев переносится с разработки отдельных математических методов исследования на системы внедрения таких методов в практическую деятельность предприятий и организаций. В первом разделе обсуждается новая система внедрения математических методов исследования «Шесть сигм». В частности, отмечена большая роль статистики интервальных данных среди инструментов этой системы. 
	Во втором разделе с позиций асимптотической математической статистики интервальных данных рассматриваются оценки метода наименьших квадратов в линейной регрессионной модели. Исходные данные заданы не числами, а интервалами, длина которых мала. Вычисляются нотны оценок параметров (максимально возможные отклонения, вызванными метрологическими причинами). Расчеты проведены для случая парной регрессии.
	Третий раздел посвящен непараметрическому точечному и интервальному оцениванию характеристик распределения (математического ожидания, медианы, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации) по выборке результатов измерений. Выборочные значения рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с произвольной функцией распределения.
	В четвертом разделе рассмотрены методы, основанные на изучении разностей соответствующих значений двух связанных выборок. Проверяется равенство 0 медианы (критерий знаков) и математического ожидания этих разностей. Гипотеза проверки совпадения функций распределения двух связанных выборок сводится к гипотезе симметрии функции распределения разностей относительно 0. При альтернативе сдвига предлагается использовать критерий знаковых рангов Вилкоксона, а при общей альтернативе – критерий типа омега-квадрат.
	Среди актуальных направлений, в которых развиваются математические методы исследования, обычно выделяют статистику объектов нечисловой природы, а в ней как одну из важнейших составных частей - теорию измерений. За последние десятилетия теория измерений прошла путь от малоизвестного раздела математической психологии до общенаучной концепции, знакомство с которой признается обязательным для исследователей и студентов самых разных специальностей. В пятом разделе рассмотрены основные идеи теории измерений - шкалы измерения и соответствующий шкалам выбор алгоритмов усреднения.
	В настоящее время активно разрабатывается подход к управлению инновационными проектами на промышленных предприятиях, основанный на методологии контроллинга. Одной из главных причин возникновения и внедрения этого подхода стала необходимость в системной интеграции различных аспектов управления инновационными проектами. Контроллинг обеспечивает методическую и инструментальную базу для поддержки основных функций менеджмента: планирования, учета, контроля и анализа, а также оценки ситуаций для принятия управленческих решений. На первом этапе контроллинга инноваций необходимо решить задачу выбора варианта реализации проекта. Шестой раздел посвящен разработке эконометрических методов сравнения и выбора, в том числе с использованием теории нечетких множеств.
	В заключении кратко сформулированы предложения по использованию результатов настоящей НИР. Рассмотрены перспективы дальнейшего развития работ по разработке, изучению и внедрению современных статистических методов. 

1. «Шесть сигм» - новая система внедрения 
математических методов исследования

	В XXI веке основное внимание исследователей и управленцев переносится с разработки отдельных математических методов исследования на системы внедрения таких методов в практическую деятельность предприятий и организаций. В разделе обсуждается новая система внедрения математических методов исследования «Шесть сигм».
	Как улучшить качество продукции и организацию производства? Как увеличить эффективность управления предприятием? Как повысить качество научных исследований? Как оптимизировать деятельность центральной заводской лаборатории? Все эти проблемы - вечные. Их решали и сто лет назад, и пятьдесят, решают и сейчас. Но по-разному.
	Последние десятилетия волна за волной накатывают на руководителей и специалистов все новые сочетания слов и стоящие за ними концепции: комплексные системы управления качеством продукции, АСУ, стандарты ИСО серии 9000, ИСУП, контроллинг... И в каждой волне есть что-то новое и что-то давно известное. Основное в очередной новации - иное направление взгляда на старые проблемы и методы.
	И вот появилось еще одно новое модное поветрие - система «Шесть сигм». Что стоит за этими словами, наводящими на мысли о статистических методах (греческой буквой «сигма» традиционно обозначают показатель разброса статистических данных)? 

1.1. Основные идеи системы «Шесть сигм»

	Как сказано в недавно выпущенной книге [1], «Шесть сигм» - это более разумный способ управлять всей компанией или отдельным ее подразделением (например, литейным цехом или центральной заводской лабораторией). Фактически речь идет о развитии системы управления качеством и контроллинга на предприятии, в организации, фирме, компании. Концепция «Шесть сигм» ставит на первое место потребителя товаров и услуг и помогает, как утверждают ее разработчики, находить самые лучшие решения, опираясь на факты и данные. Она нацелена на три основные задачи:
	- повысить удовлетворенность клиентов;
	- сократить время цикла (производственного, операционного);
	- уменьшить число дефектов.
	Внедрение «Шести сигм» дает значительный экономический эффект. Исполнительный директор корпорации General Electric Джек Уэлч объявил в ежегодном докладе, что всего за три года система «Шесть сигм» сэкономила компании более 2 миллиардов долларов [1].
	Совершенно справедливо систему «Шесть сигм» рассматривают как «революционный метод управления качеством». Согласно системе «Шесть сигм» следует стремиться к достижению самого малого (из возможных) разброса контролируемого параметра по сравнению с полем допуска. Точнее, желательно добиться, чтобы ширина поля допуска была по крайней мере в 6 раз больше типового разброса «плюс-минус сигма». Отсюда и название - «Шесть сигм». Соотношение поля допуска с полем разброса (в «сигмах») связывают с числом дефектов (на миллион возможностей) и с выходом годной продукции (в %). Так, 6 «сигм» согласно [1] соответствуют 3,4 дефектов на 1000000 возможностей, или выходу годной продукции 99,99966%. 
	А пока столь высокий уровень качества не достигнут, можно оценивать ситуацию в «сигмах». И промежуточная задача может формулироваться так: с уровня 2,5 «сигма» подняться до уровня 4 «сигма».

1.2. Инструменты системы «Шесть сигм»

	С помощью каких интеллектуальных инструментов достигается успех в системе «Шести сигм»? Перечислим их.
	Это инструменты генерации идей и структурирования информации - экспертные оценки (различные варианты сбора информации и голосования, мозговой штурм и др.), диаграммы (сродства, древовидные, «рыбий скелет» - схема Исикава), блок-схемы. 
	Это инструменты сбора данных - разнообразные варианты выборочного метода, всевозможные методики измерений (наблюдений, анализов, опытов, испытаний). Сюда же относятся методы определения «голоса потребителя» (т.е. предпочтений потребителей), контрольные листки, а также инструменты систематизации данных - электронные таблицы и базы данных. 
	Третья группа - инструменты анализа процессов и данных - анализ течения процесса, добавленной ценности, различные графики и диаграммы. В том числе диаграмма Парето, график временного ряда (тренда), диаграмма разброса (корреляционное поле). Затем - многочисленные инструменты статистического анализа (описание данных, оценивание и проверка статистических гипотез, методы корреляции и регрессии, классификации, снижения размерности, планирования экспериментов, анализа временных рядов, статистики нечисловых и интервальных данных и др.). 
	Наконец, четвертая группа - инструменты реализации решений и управления процессами. Среди них - методы управления проектами (планирование, бюджетирование, составление графиков, оптимизация коммуникаций, управление коллективом, диаграммы Ганта и др.). А также анализ потенциальных проблем, изучение видов и последствий отказов, анализ заинтересованных сторон, диаграмма поля сил, документирование процесса, сбалансированная система показателей и «приборная» панель процесса. 
	Таким образом, инструментарий системы «Шести сигм» весьма широк. Эти интеллектуальные инструменты помогают принимать правильные решения, решать проблемы и управлять переменами. Среди них, как следует из проведенного выше перечисления, основное место занимают различные математические методы исследования, прежде всего статистические и экспертные инструменты. Однако нельзя считать, что система «Шести сигм» и инструменты «Шести сигм» - это одно и то же. Система - это не просто совокупность инструментов. Важно управление набором инструментов, а также синергетический эффект от их совместного применения.

1.3. В чем новизна системы «Шесть сигм»?

	Как справедливо подчеркнуто в цитированной книге о системе «Шести сигм», обращаясь к читателям - менеджерам, инженерам и экономистам, возможно, вы говорите себе: «Мы уже давно делаем кое-что из этого». И уж, безусловно, вы читали почти обо всем из названных выше инструментов. Совершенно бесспорно, что многое в концепции «Шести сигм» не ново. Что действительно ново - так это соединение всех этих элементов системы и ее инструментов в согласованный процесс управления. 
	Действительно, различные виды инструментов повышения эффективности управления организацией, ее подразделениями, отдельными направлениями деятельности известны давно. Чтобы их успешно использовать, НУЖНА СИСТЕМА ВНЕДРЕНИЯ. Необходима тщательно разработанная методика создания и функционирования творческих коллективов, занимающихся анализом ситуации, подбором и внедрением современных инструментов управления. Такая методика и создана в системе «Шесть сигм». В этом и состоит суть нового шага в науке и практике управления предприятием и его подразделениями.

1.4. Шесть основных элементов системы «Шесть сигм»

	Выделяют [1] шесть основных элементов, составляющих квинтэссенцию системы «Шесть сигм». Это
	- ориентация на потребителя;
	- управление на основе данных и фактов;
	- процессный подход (где действия, там и процессы);
	- проактивное управление (т.е. основанное на прогнозировании); 
а также два социально-психологических базисных положения:
	- безграничное сотрудничество;
	- стремление к совершенству без боязни поражений.
	Конечно, каждый из этих элементов сам по себе хорошо известен в теории и практике управления (менеджмента). Дело в системе «Шесть сигм», в которую они объединены. В частности, в этой системе подробно расписаны роли различных участников команды - «черные пояса», «зеленые пояса», «мастера черных поясов», «чемпионы». В самих названиях ролей подчеркнута роль команды проекта по внедрению системы «Шесть сигм», соревнования между подразделениями и специалистами, энтузиазма в работе (аналогичного спортивному азарту), продвижения на основе освоенных знаний и полученных результатов (в спорте - переход от пояса к поясу). Весьма важна основополагающая роль членов высшего руководства компании, лично занимающихся развитием системы «Шесть сигм».
	Анализ системы «Шесть сигм» показывает, что, несмотря не некоторое своеобразие терминов, связанное с корнями этой системы (лежащими в проблемах управления качеством), фактически «Шесть сигм» - это глубоко проработанная система внедрения современных подходов к управлению предприятием и его подразделениями, прежде всего контроллинга, на основе широкого и продвинутого использования математических методов исследования. Отметим большое место, которое занимают математические методы исследования, прежде всего статистические и экспертные методы, среди ее инструментов. Система «Шесть сигм» трудоемка, на внедрение нужны годы. Но и эффект велик. 

1.5. Проблемы внедрения математических методов исследования

	Полезно проанализировать изменение представлений о проблемах внедрения современных научных достижений в отечественную практику. В качестве примера для обсуждения рассмотрим теорию и методы планирования эксперимента, об истории которых в нашей стране рассказано в [2]. Как известно, локомотивом работ по планированию эксперимента в нашей стране являлся «незримый коллектив» под руководством В.В. Налимова, основные научные идеи и результаты их практического внедрения постоянно рассматривались на страницах журнала «Заводская лаборатория».
	Очевидно, совершенно необходимый первый этап - разработка самой научной теории до той стадии, когда предлагаемые рекомендации уже можно использовать на практике. Основной результат этого этапа - методические разработки и образцы внедрения. Для планирования эксперимента первый этап в основном завершился к началу 1970-х годов. 
	Термин «завершился» требует уточнения. Научные исследования, разумеется, продолжались после 1970 г. Они продолжаются сейчас, и будут продолжаться в дальнейшем, поскольку любая научная область может - при наличии энтузиастов - развиваться до бесконечности. Речь о другом - к началу 1970-х годов была создана методическая база для массового внедрения. 
	Следующий этап - пропаганда возможностей методов планирования эксперимента, преподавание и подготовка кадров. В статье [2] рассказано о многочисленных акциях 1960-70-х годов в этом направлении. Казалось, что дальше всё пойдет самотеком. Но не получилось. Широкого потока внедренческих работ не последовало. Блестящие работы не стали образцами для подражания.
	И не только для планирования эксперимента. Примерно так же развивалась ситуация с внедрением экономико-математических методов. Хотя были и некоторые незначительные отличия. Удалось организовать Центральный экономико-математический институт РАН, а вот академического института по планированию эксперимента нет до сих пор. И Межфакультетская лаборатория статистических методов МГУ им. М.В.Ломоносова, которая занималась развитием теории и внедрением методов планирования эксперимента, расформирована в середине 1970-х годов. Были и другие примеры того, что организационные успехи по тем или иным причинам не удавалось закрепить [2].
	Стало ясно, что создания методов и их пропаганды недостаточно. Выявилась необходимость перехода к третьему этапу - этапу разработки организационных форм, обеспечивающих широкое внедрение. Наиболее ярким проявлением этого этапа было учреждение в 1990 г. Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА), объединяющей - прежде всего в секции статистических методов - специалистов по математическим методам исследования [3]. В статье [4] тех лет, посвященной проблемам внедрения прикладной статистики и других статистических методов, была развернута программа создания сети научно-исследовательских и внедренческих институтов по этой тематике, аналогичной сети метрологических организаций. К сожалению, все эти глобальные планы организации внедрения рассматриваемых методов в государственном масштабе остались нереализованными из-за развала СССР и развертывания экономических «реформ» 1990-х годов, приведших к сокращению (в разы!) объемов научных исследований и численности работников в сфере науки и научного обслуживания.
	Сейчас мы находимся на четвертом этапе. Надо разрабатывать и широко использовать новые организационные формы внедрения математических методов исследования на отдельных предприятиях. С похожими проблемами сталкиваются разработчики крупных информационных систем управления предприятиями (типа SAP R/3, Oracle, JD Edwards, Baan), занимающиеся их внедрением в конкретных организациях [5]. В частности, необходимо создание соответствующей службы под непосредственным началом одного из высших руководителей организации. Недаром внедрение контроллинга - современных методов управления предприятиями - обычно начинается именно с создания службы контроллинга и прорабатывания ее взаимодействия со всеми остальными структурами предприятия [6]. 
	Система «Шесть сигм» ценна, прежде всего, своей организационной составляющей. Той, которой не уделяли внимания на ранних этапах истории внедрения современных математических методов исследования. Система «Шесть сигм» дает алгоритмы практической деятельности по организации внедрения. Чем она и интересна для отечественных специалистов.

2. Интервальная линейная парная регрессия

	В разделе 1 отмечена большая роль статистики интервальных данных среди инструментов системы «Шесть сигм». В настоящем разделе с позиций асимптотической математической статистики интервальных данных рассматриваются оценки метода наименьших квадратов в линейной регрессионной модели. Исходные данные заданы не числами, а интервалами, длина которых мала. Вычисляются нотны оценок параметров (максимально возможные отклонения, вызванными метрологическими причинами). Расчеты проведены для случая парной регрессии.
	Статистическое исследование зависимостей - одна из наиболее важных задач, которые возникают  в различных областях науки и техники. Под словами "исследование зависимостей" имеется в виду выявление и описание связи между исследуемыми переменными на основании результатов статистических наблюдений. Мощные инструменты для решения такого рода задач разработаны в прикладной статистике. Примерами могут служить регрессионный, факторный, дисперсионный, корреляционный анализы.  
	Однако многие реальные ситуации характеризуются наличием данных интервального типа. При этом исследователь не знает точных значений измеренных данных, а знает только границы интервалов, содержащих истинные значения. Такие задачи могут возникать, например, если при проведении экспериментов средства измерения имеют погрешности, причем экспериментатору известны допустимые границы этих погрешностей (например, из технических паспортов средств измерения).
	Основная цель настоящего раздела – демонстрация подхода асимптотической математической статистики интервальных данных к оценке параметров линейной регрессионной модели методом наименьших квадратов.  

2.1. Статистика интервальных данных

	Процесс измерения, какой бы физической природы он ни был, обычно не дает однозначный результат, т.е. истинная характеристика не совпадает с результатом измерения. Поэтому целесообразно представлять измеренные данные в интервальном виде. А именно, результатом измерения какой-либо величины Х являются два числа: ХH — нижняя граница и ХB — верхняя граница. При этом ХИСТ  [ХH, ХB], где ХИСТ - истинное значение измеряемой величины. Таким образом, результат измерения можно записать как X = [ХH, ХB]. Интервальное число X может быть представлено другим способом, а именно, X = [Хm, Δx], где ХH = Хm - Δx, ХВ = Хm + Δx . Здесь Хm - центр интервала (не обязательно совпадающий с ХИСТ), а Δx - максимально возможная погрешность измерения. 
	Математическая статистика интервальных данных - перспективная и быстро развивающаяся область статистических исследований. Развитие идей статистики интервальных данных продолжается уже более 20 лет. Проводятся дискуссии .[7] и международные конференции [8]. Сформированы два основных подхода. Первый подход развивается одной из ведущих научных школ в области статистики интервальных данных, возглавляемой проф. А.П. Вощининым и активно работающей с конца 70-х годов [9-12]. Второй подход, начавшийся с разработки ГОСТ 11.011-83, – асимптотическая математическая статистика интервальных данных [13-18]. К ней относятся и результаты настоящего раздела. К 2004 г. времени в статистике интервальных данных изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности и др.
	Сформулируем (в соответствии с [18]) основные идеи асимптотической математической статистики интервальных данных. Пусть статистика интересует выборка х = (х1, х2, ... , хn), хi  R1, описывающая реальность (выборку рассматриваем как многомерный вектор). Однако из-за неизбежных погрешностей измерения ему известна лишь выборка
y = (y1, y2, ..., yn) , yi  R1, yi = хi + ei , i = 1,2, …, n.
Здесь ei - погрешность измерения i-го значения интересующей статистика случайной величины. Введем вектор погрешностей (невязок) е = (e1, e2 ,..., en).
	В асимптотической математической статистике интервальных данных на погрешности измерения обычно накладывается одно из двух ограничений:
|ei| < Δ, i = 1,2,…, n,
(ограничение на предельную абсолютную погрешность), либо
|ei| < δ|xi|, i = 1,2, …, n
(ограничение на предельную относительную погрешность), где Δ и δ малы. 
	Пусть статистические выводы основаны на статистике
f(y) = f(y1, y2, ..., yn) , f: Rn → R1 ,
тогда при достаточно малых ei с точностью до бесконечно малых более высокого порядка о(|ei|) метрологическая погрешность равна
.
В асимптотической математической статистике интервальных данных учет метрологических погрешностей проводится по максимуму возможных отклонений. Показателем влияния вектора е погрешностей является т.н. нотна, т.е. максимально возможное отклонение

где максимум берется по всем возможным погрешностям (совокупность возможных погрешностей описывается некоторым множеством Е). В более математизированном изложении вместо max следовало бы поставить sup. 
	Тогда для ограничений на предельную абсолютную погрешность нотна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеет вид 

Для ограничений на предельную относительную погрешность справедлив аналогичный результат: с точностью до бесконечно малых более высокого порядка нотна равна

	На основе понятия нотны, как показано в работах [8-14], в асимптотической математической статистике интервальных данных построены различные алгоритмы оценивания и проверки гипотез, решения задач многомерного статистического анализа. Приведем примеры полученных результатов. Пусть в классической математико-статистической теории статистика f(х) используется для оценивания параметра а. Пусть она  является асимптотически нормальной (при безграничном росте объема выборки n) с математическим ожиданием а и дисперсией σ2/n, причем
,
где символ М означает операцию взятия математического ожидания. Предположим, что для интервальных данных точечное оценивание параметров проводится по тем же алгоритмам, что и в классическом случае, т.е. на основе статистики f(y). Доверительный интервал для оцениваемого параметра а, соответствующий доверительной вероятности α, расширяется по сравнению с классикой и имеет вид
[aH(α) – Nf (y); aB(α) + Nf (y)],		
где aH(α) и aB(α) - нижняя и верхняя доверительные границы, найденные по классическим правилам, а Nf(y) - значение нотны, вычисленное по доступным статистику данным y. 
	Если обозначить длину соответствующих интервалов как d1=aB(α)- aH(α) и d2= d1+2Nf (y), то из проведенных рассуждений вытекают несколько важных для практики выводов:
	1. Если при данном объеме выборки n значение d1Nf (y), то увеличение объема выборки нецелесообразно, т.к. это не влияет ширину интервала d2.
	2. Если при данном объеме выборки d1 << Nf (y), то доминирующим фактором неопределенности являются нестатистические погрешности и фактором случайности можно пренебречь.
	3. Если при данном объеме выборки d1 >> Nf (y), то доминирующим фактором неопределенности являются статистические погрешности, а учет нотны нецелесообразен.
	Для рассматриваемого случая:

где u(α) - квантиль стандартного нормального распределения порядка (1 + α)/2, а s - оценка  по выборке. В качестве показателя суммарной погрешности в [13-18] использовалась полудлина асимптотического доверительного интервала при u(α) = 1, т.е.

	Из последнего соотношения очевидно, что при Nf (у) ≠ 0 целесообразно увеличивать объем выборки лишь до числа, не большего некоего nрац - рационального объема выборки. В [13-18] использовался "принцип уравнивания погрешностей", выдвинутый в [19], согласно которого целесообразно приравнять погрешности разной природы (метрологической и статистической): 

	Таким образом, рациональный объем выборки позволяет определить тот объем выборки, при достижении которого продолжать наблюдения нецелесообразно. А расчет нотны дает величину максимально возможного отклонения статистики.

2.2. Интервальный линейный регрессионный анализ

	Для определения параметров регрессионной модели наиболее часто применяют метод наименьших квадратов. В частности, этот метод широко применяется при анализе и прогнозировании затрат предприятия. 
	Постоянные затраты не зависят от объема выпуска по определению: F = const = b. Зависимость переменных затрат от объема выпуска в простейшем случае описывается линейной функцией: у = ах, где y - суммарный объем переменных затрат (на весь объем выпуска); a - коэффициент пропорциональности (величина переменных затрат на единицу выпуска); х - объем выпуска. В микроэкономической теории затраты – квадратичная или более сложная функция от х. Здесь ограничимся линейной зависимостью.
	Зависимость смешанных (другими словами, суммарных) затрат от объема выпуска можно описать линейной функцией со свободным членом:
у = ах + b,
где y - суммарная величина смешанных затрат; ax - переменная часть смешанных затрат; b - постоянная часть смешанных затрат.
	Вначале обсудим теоретическое обоснование интервального метода наименьших квадратов согласно [16], затем опишем алгоритм построения уравнения регрессии и нахождения нотны.  
	Рассмотрим линейную регрессионную модель 
		(1)
где 	y  - вектор размерности n значений зависимой переменной;
	X – матрица плана (значений независимых переменных) порядка k×n;
	β -  вектор неизвестных параметров размерности k;
	ε - вектор невязок (погрешностей измерения) размерности n.
Как известно, оценка наименьших квадратов  вектора β имеет вид
		(2)
где штрих – знак транспонирования. В интервальной статистике рассматривают модель, согласно которой X и y известны статистику лишь с некоторой точностью, т.е.
, ,
где Xo и yo - истинные значения переменных, α и γ - неизвестные статистику малые погрешности. 
	Нотна оценки наименьших квадратов β* – это вектор, каждая координата которого – максимально возможное отклонение этой координаты изучаемого вектора β*, вызванное погрешностями α и γ. Таким образом, рассматриваемая нотна – это вектор Nβ = (N1β, N2β, …, Nkβ), где
	(3)
где sup берется по области изменения (α, γ), описанной ниже.
	Вычислим нотну при малых погрешностях α и γ. Имеем 
.         (4)
Последний член в (4) есть О, т.е. член более высокого порядка по , чем предыдущие, где  - евклидова норма матрицы , т.е.  есть сумма квадратов всех элементов матрицы  порядка kn. 
	Для нахождения величины  обратимся к известной формуле теории матриц [20]
, 		(5)
где E – единичная матрица, все собственные числа матрицы А по модулю меньше 1. Поскольку , то из (5) вытекает, что 
. 	(6)
Из (4) и (6) следует, что
. 	(7)
Далее с точностью до членов более высокого порядка имеем
.
Наконец, согласно (2) имеем
	(8)
c точностью до членов более высокого порядка по  и . При этом согласно (4)  с точностью до членов более высокого порядка. Последняя формула позволяет изучать чувствительность оценок метода наименьших параметров в зависимости от изменения исходных данных. 

2.3. Парная регрессия

	Дальнейшее развитие идеи изучения чувствительности – расчет нотны. Проведем его на примере линейной парной регрессии - частного случая многомерного регрессионного анализа, в котором на основе формулы (8) можно легко продвинуться дальше. Модель имеет вид
 i=1, 2, 3, ..., n.      (9)
Она переходит в модель (1), если положить
		(10)
Естественно принять, что погрешности матрицы X имеют вид
.
	Как известно,
,		(11)
Для упрощения обозначений далее опустим пределы суммирования, а затем и индекс суммирования. Это не может привести к недоразумениям, поскольку всюду суммирование проводится по индексу i в интервале от 1 до n. Из формулы (11) вытекает, что
.		(12)
Легко подсчитать, что 
.		(13)
Положим
.
Тогда знаменатель в (12) равен . Из (12) и (13) следует, что 
.	(14)
Из (14) и (11) следует, что 
,		(15)
где 
,
,
.
Наконец, вычисляем основной член в формуле (8):
,	(17)
где 
z1i = xi A+B, z2i = xi B+D, i = 1, 2, … , n.		(18)
	Перейдем к вычислению второго члена с  в (8). Имеем
,		(19)
где 
w1i = nαi,	 w2i = -i Σx,	 i=1, 2, … , n.
Складывая правые части формул (17) и (19) и умножая на y, получим окончательный вид члена с в (8):
,		(20)
где

		(21)
	Имеем
,
.
	Если ограничения имеют вид
|j|  < λ,	 j=1,2,….n,		(23)
где - максимально возможная погрешность (т.е. предельная абсолютная погрешность), то максимально возможное отклонение оценки a* параметра a из-за погрешностей j имеет вид
,		(24)
где производные  заданы формулой (22).
	Из соотношений (20), (21) и (23) следует, что
,	(25)
где F и G определены в (21), а
,		(26)
.		(27)
Вычисление правой части (25) следует проводить по наблюдаемым значениям, поскольку теоретические (истинные) значения неизвестны статистику. По сравнению с расчетами по истинным значениям допускаем ошибки, являющиеся бесконечно малыми более высокого порядка по сравнению с α и γ. Доказательство этого утверждения проводится с помощью теорем о наследовании сходимости [19].

2.4. Пример использования интервальной парной регрессии

	Методы статистики интервальных данных наряду с классическими методами оказываются полезными не только в традиционных статистических задачах, но и во многих других областях, в частности, в экономике и управлении промышленными предприятиями [18, 21]. Пример использования статистики интервальных данных в инвестиционном менеджменте подробно описан в [18]. Перспективы применения статистики интервальных данных в контроллинге проанализированы в [22]. Компьютерный анализ данных и использование статистических методов в информационных системах управления предприятием при решении задач контроллинга обсуждаются в [5]. Рассмотрим практический пример применения в контроллинге интервального регрессионного анализа при анализе и прогнозировании затрат предприятия.
	Пример. Выпуск продукции y зависит от величины суммарных переменных затрат х. Условные исходные данные для предприятия “Омега” (за 12 месяцев) приведены в табл. 1. Необходимо построить уравнение регрессии и найти нотну. В данном случае n = 12, k = 2. Зависимость ищется в виде .

Таблица 1. Исходные данные, тыс. руб.
Месяц,№ п/п	х	y	Месяц,№ п/п	х	y	
1	15,1	89,0	7	44,3	145,9	
2	16,8	110,8	8	46	151,8	
3	25,0	104,4	9	46,8	153,7	
4	30,7	116,1	10	53,4	161,8	
5	33,2	127,8	11	56,5	175,8	
6	44,2	143,3	12	65,4	193,4	

	Пусть как для х, так и для y максимально возможная погрешность . Можно доказать [16], что указанное значение  допустимо считать малым, поскольку под «малостью» следует понимать малость относительно типовых значений х и y. Построим уравнение регрессии согласно методу наименьших квадратов:

	Оценим максимально возможное изменение (приращение) вектора (a*,b*) оценок параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов при изменении исходных данных, когда α и  малы (см. формулу (8) выше). Для этого найдем нотны - максимально возможные изменения координат этого вектора в предположении  и :
Na*(x,y) = 0,87;  Nb*(x,y) = 32,98.
	Найдем доверительные интервалы для параметров a и b согласно [14, п.5.1] при доверительной вероятности 0,95. Для параметра a (т.е. для переменных затрат на единицу выпуска) нижняя доверительная граница , а верхняя - . Доверительный интервал для параметра a с учетом нотны равен [1,595 - 0,87; 2,233 + 0,87] или [0,73; 3,1].   Ширина «классического» доверительного интервала d1=aB(0,95)- aH(0,95) равна 0,638, что несколько меньше, чем нотна 0,87. 
	Для параметра b (т.е. для постоянных затрат) нижняя доверительная граница , а верхняя - . Ширина «классического» доверительного интервала для параметра b* равна 9,62, т.е. почти в 3 раза меньше, чем нотна 32,98. Доверительный интервал для параметра b с учетом нотны равен [58,51 – 32,98; 68,13 + 32,98] или [25,53; 101,12].
	Итак, восстановленная зависимость с учетом метрологических и статистических погрешностей имеет вид

	Исходя из погрешностей коэффициентов линейной зависимости, можно указать нижнюю и верхнюю доверительные границы для функции
,	.
Более точно доверительные границы для значения функции в определенной точке можно указать, если найти нотну и статистическую погрешность не для коэффициентов, а непосредственно для значения функции [18, п.5.1].
	Полученные результаты дают возможность оценивать точность прогнозирования с помощью восстановленной зависимости, рассчитывая нижние и верхние границы для значения зависимой переменной. Например, при х =100 нижняя и верхняя границы интервала равны
yн (100)  = (1,914 - 1,187)×100 + 63,32 – 37,79  = 98,23;
yв (100) = (1,914 + 1,187)×100 + 63,32 + 37,79 = 411,21.
	Подведем итоги. К настоящему времени теория и алгоритмы интервального линейного регрессионного анализа достаточно хорошо разработаны, как и методы статистики интервальных данных в целом. На основе асимптотической прикладной математической статистики интервальных данных можно анализировать важные для практики случаи смешанных источников неопределенности и неточности выборочных данных, связанных не только со случайностью, но и с другими факторами неопределенности (ошибки округления и дискретизации, систематические ошибки и др.). При этом если эффект случайной вариабельности изучаемой переменной может быть оценен по выборочным данным, то для нахождения максимального значения нестатистической ошибки, т.е. нотны, может быть использована любая, в том числе экспертная, информация. 
	Представляется необходимым использование интервального регрессионного анализа в различных областях научных и прикладных исследований, прежде всего, в технических, экономических, управленческих разработках. Более этого, по нашему мнению, со временем во все виды статистического программного обеспечения должны быть включены алгоритмы интервальной статистики, "параллельные" обычно используемым в настоящее время алгоритмам прикладной математической статистики. Это позволит в явном виде учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений (измерений, испытаний, анализов, опытов).

3. Непараметрическое точечное и интервальное оценивание 
характеристик распределения

	Раздел посвящен непараметрическому точечному и интервальному оцениванию характеристик распределения (математического ожидания, медианы, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации) по выборке результатов измерений. Выборочные значения рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с произвольной функцией распределения.
	Существенная часть алгоритмов статистического анализа данных исходит из предположения о нормальности распределения результатов наблюдений. Между тем специально проведенные исследования (сводка дана в статье [23] и учебнике [18]) показывают, что распределения погрешностей физических измерений, как правило, отличны от нормальных. Из-за отклонений от нормальности свойства алгоритмов могут в одних случаях измениться сравнительно слабо, как при проверке гипотезы однородности математических ожиданий для выборок равного объема [18, 24], но иногда изменения таковы, что алгоритмы из научных переходят в эвристические. Например, свойства алгоритмов отбраковки выбросов (резко выделяющихся  наблюдений) крайне неустойчивы по отношению к отклонениям от нормальности: если зафиксировать правило отбраковки, то крайне неустойчив уровень значимости, а если зафиксировать уровень значимости, то крайне неустойчиво критическое значение [18, 25]. Поэтому в программной статье [26] выдвинута задача изучения влияния отклонения от нормальности на свойства всех практически используемых алгоритмов статистического анализа.   
	Одна из основных задач прикладной статистики – оценивание по выборочным данным характеристик генеральной совокупности, таких, как математическое ожидание, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Точечные оценки строятся очевидным образом – используют выборочные аналоги теоретических характеристик. Для получения интервальных оценок приходится использовать асимптотическую нормальность выборочных моментов и функций от них.
	Пусть исходные данные – это выборка x1, x2, … , xn , где n – объем выборки. Выборочные значения x1, x2, … , xn рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2, … , Xn с общей функцией распределения F(x) = P(Xi < x), i = 1,2, …, n. Поскольку функция распределения произвольна (с точностью до условий регулярности типа существования моментов), то рассматриваемые задачи доверительного оценивания характеристик распределения являются непараметрическими. Существование моментов является скорее математическим ограничением, чем реальным, поскольку практически все реальные статистические данные финитны (т.е. ограничены сверху и снизу, например, шкалой прибора). Для простоты изложения примем это предположение финитности, из которого вытекает существование теоретических моментов любого порядка.
	В расчетах будут использоваться выборочное среднее арифметическое
 = (X1 + X2  +… + X n ) / n,
выборочная дисперсия 
 = { (X1 – )2 + (X2 – )2  +… + (X n – )2 } / (n-1),
выборочное среднее квадратическое отклонение s0 (квадратный корень из выборочной дисперсии) и некоторые другие выборочные характеристики, которые введем позже.

3.1. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания
 
	Точечной оценкой для математического ожидания в силу закона больших чисел является выборочное среднее арифметическое . В некоторых случаях могут быть использованы и другие оценки. Например, если известно, что распределение симметрично относительно своего центра, то центр распределения является не только математическим ожиданием, но и медианой, а потому для его оценки можно использовать выборочную медиану.
	Нижняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид 
 – U(p) s0 / n1/2 ,
где: p – доверительная вероятность (истинное значение математического ожидания находится между нижней доверительной границей и верхней доверительной границей с вероятностью, равной доверительной);
	U(p) – число, заданное равенством Ф(U(p)) = (1+ p)/2, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Например, при p =  95% (т.е. при р = 0,95) имеем U(p) = 1,96. Функция U(p) имеется в большинстве литературных источников по теории вероятностей и математической статистике (см., например, [27]). 
	Верхняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид 
 + U(p) s0/ n1/2 .
	Выражения для верхней и нижней доверительных границ получены с помощью центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей и теоремы о наследовании сходимости [19, гл.2.4]. Они являются асимптотическими, т.е. становятся тем точнее, чем больше объем выборки. В частности, вероятность попадания истинного значения математического ожидания между нижней и верхней доверительными границами асимптотически приближается к доверительной вероятности. Но при конечном объеме выборки может незначительно отличаться от нее. Это – недостатки непараметрического подхода. Достоинством же является то, что его можно применять всегда, когда случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию, что в силу финитности (ограниченности шкал) имеет быть практически всегда в реальных ситуациях.
	Сопоставим с параметрическим подходом. Обычно в таких случаях предполагают нормальность результатов наблюдений (которой, как уже было отмечено, практически никогда нет). Тогда формулы нижней и верхней доверительных границ для математического ожидания имеют похожий вид, только вместо U(p) стоят квантили распределения Стьюдента. Как известно, при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента сходятся к соответствующим квантилям стандартного нормального распределения, так что при больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты. Отметим, что классические доверительные интервалы несколько длиннее, поскольку квантили распределения Стьюдента больше квантилей стандартного нормального распределения, хотя это различие и невелико.
	Пример 1. Рассмотрим данные о наработке резцов до отказа (табл.1). В рассматриваемом случае выборочное среднее арифметическое  = 57,88 (это и 

Таблица 1.
Наработка резцов до предельного состояния, в часах
№ п/п	Наработка, ч	№ п/п	Наработка, ч	№ п/п	Наработка, ч	
1	9	18	47,5	35	63	
2	17,5	19	48	36	64,5	
3	21	20	50	37	65	
4	26,5	21	51	38	67,5	
5	27,5	22	53,5	39	68,5	
6	31	23	55	40	70	
7	32,5	24	56	41	72,5	
8	34	25	56	42	77,5	
9	36	26	56,5	43	81	
10	36,5	27	57,5	44	82,5	
11	39	28	58	45	90	
12	40	29	59	46	96	
13	41	30	59	47	101,5	
14	42,5	31	60	48	117,5	
15	43	32	61	49	127,5	
16	45	33	61,5	50	130	
17	46	34	62			

есть точечная оценка для математического ожидания), выборочная дисперсия  = 663,00, объем выборки n = 50. Следовательно, выборочное среднее квадратическое отклонение s0 =  и согласно приведенным выше формулам при доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница для математического ожидания такова:
57,88 – 1,96 × 25,75 /  = 57,88 – 7,14 = 50,74,
а верхняя доверительная граница есть 57,88 + 7,14 = 65,02.
	Если заранее известно, что результаты наблюдения имеют нормальное распределение, то нижняя и верхняя доверительная границы для математического ожидания определяются по формулам
 - t(p, n-1) s0 /,  + t(p, n-1) s0 /
соответственно. Эти формулы отличаются от предыдущих тем, что квантиль нормального распределения U(p) заменен на аналогичный квантиль распределения Стьюдента с (n – 1) степенью свободы. Другими словами, t(p, n-1) – это число, заданное равенством STn-1(p) =   = (1+ p)/2, где STn-1(х) – функция распределения Стьюдента с (n – 1) степенью свободы. 
	Для доверительной вероятности р = 0,95 при объеме выборки n = 50 согласно [27] имеем t(p, n-1) = 2,0096. Следовательно, нижняя доверительная граница для математического ожидания такова:
57,88 – 2,0096 × 25,75 /  = 57,88 – 7,32 = 50,56,
а верхняя доверительная граница есть 57,88 + 7,32 = 65,20. Таким образом, длина доверительного интервала увеличилась с 14,28 до 14,64, т.е. на 2,5%. 
	Отметим, что согласно [28] рассматриваемые данные согласуются с гамма-распределением, а не с нормальным распределением, поэтому использование распределения Стьюдента для получения доверительных границ некорректно. 
	Иногда рекомендуют сначала проверить нормальность результатов наблюдений, а потом, в случае принятия гипотезы нормальности, рассчитывать доверительные границы с использованием квантилей распределения Стьюдента. Однако проверка нормальности - более сложная статистическая процедура, чем оценивание математического ожидания. Кроме того, применение одной статистической процедуры, как правило, нарушает предпосылки следующей процедуры, в частности, независимость результатов наблюдений [18, 29]. Поэтому цепочка статистических процедур, следующих друг за другом, как правило, образует статистическую технологию, свойства которой неизвестны на современном уровне развития прикладной статистики. 
	Итак, только непараметрическую статистическую процедуру следует применять для анализа реальных данных. Как правило, встречающиеся на практике распределения не являются нормальными, а потому использование квантилей распределения Стьюдента неправомерно. 

3.2. Точечное и интервальное оценивание медианы

	Точечной оценкой для медианы является выборочная медиана.
	Пример 2. Для данных о наработке резцов до отказа объем выборки – четное число, поэтому выборочной медианой является полусумма 25-го и 26-го членов вариационного ряда, т.е. (56 + 56,5)/2 = 56,25.
	Чтобы построить доверительные границы для медианы, по доверительной вероятности р находят U(p). Затем вычисляют натуральное число 
С(р) = [n/2 – U(p)n1/2 /2],
где [.] – знак целой части числа. Нижняя доверительная граница для медианы имеет вид 
Х (С(р)),
где Х(i) – член с номером i вариационного ряда, построенного по исходной выборке (т.е. i-я порядковая статистика). Верхняя доверительная граница для медианы имеет вид
Х (n + 1 - С(р)).
Теоретическое основание для приведенных доверительных границ содержится в литературе по порядковым статистикам (см., например, монографию [30, с.68]). 
	Пример 3. Для данных о наработке резцов до отказа n = 50. Рассмотрим как обычно, доверительную вероятность р = 0,95. Тогда 
С(р) = [50/2 – 1,96 /2]= [18,07] = 18.
Следовательно, нижней доверительной границей является Х(18) = 47,5, а верхней доверительной границей Х(50 + 1 - 18) = Х(33) = 61,5. 
	Поскольку в случае нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием, то каких-либо специальных способов ее оценивания в классическом случае нет.

3.3. Точечное и интервальное оценивание дисперсии

	Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия . Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Доверительные границы находятся с помощью величины
d2 = (m 4  - ((n – 1) /n ) 4   ) / n ,
где m 4  - выборочный четвертый центральный момент, т.е.
m 4  =  { (X1 – ) 4 + (X2 – )  4  +… + (X n – ) 4 } / n .
	Нижняя доверительная граница для дисперсии такова:
 - U(p)d ,
где  – выборочная дисперсия; U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2; d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше.
	Верхняя доверительная граница для дисперсии имеет вид 
 + U(p)d .
	При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии, установленная, например, в учебнике [31, с.419]. Непараметрический доверительный интервал является  асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки. Отметим, что в случае нормального распределения четвертый момент в 3 раза больше квадрата дисперсии, а потому можно оценить d2 как (2)/n . Это дает быстрый способ для интервальной оценки дисперсии в нормальном случае.
	Пример 4. Для данных о наработке резцов до отказа (табл.1) объем выборки n = 50, выборочная дисперсия  = 663,00, четвертый выборочный момент m4 = 1702050,71. Поэтому
d2 = (1702050,71- ((50 – 1) /50 ) 4 663,002 ) /50 = 25932,13.
Тогда d = 161,03. Для доверительной вероятности р =0,95 нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины такова:
663,00 – 1,96Ч161,03 = 663,00 – 315,63 = 347,37,
а верхняя доверительная граница для дисперсии есть 663,00 + 315,63 = 978,63.
	Пример 5. В случае нормального распределения с целью быстрого получения доверительного интервала величина d2 оценивается как
(2 ) / n = (2 × 663,002) / 50 = 17582,76,
а потому d = 132,6. Для доверительной вероятности р =0,95 нижняя доверительная граница для дисперсии заменяется на 
663,00 – 1,96Ч132,6= 663,00 – 259,90 = 403,10,
а верхняя доверительная граница – на 663,00 + 259,90 = 922,9. 
	Сужение границ для дисперсии вполне естественно. Данные о наработке резцов до предельного состояния (т.е. до отказа) соответствуют гамма-распределению, а это распределение является асимметричным, с «тяжелым» правым «хвостом». Последнее означает, что плотность убывает заметно медленнее, чем для нормального распределения. Как следствие, четвертый момент заметно больше, чем для нормального распределения с теми же математическим ожиданием и дисперсией. А потому больше и параметр d. Из проведенных расчетов видно, что использование алгоритмов расчетов, соответствующих нормальному распределению, в ситуации, когда распределение результатов наблюдений отлично от нормального, может привести к заметному искажению выводам.
	Пример 6. В классическом случае нормального распределения исходят из того, что величина (n – 1) /σ2 имеет распределение хи-квадрат с (n – 1) степенью свободы. Для доверительной вероятности р =0,95 следует рассмотреть неравенство
31,555 < (n – 1) /σ2 < 70,222,
справедливое с вероятностью 0,95, поскольку 
F(31,555)= 0,025, F(70,222) = 0,975,
где F(x) – функция хи-квадрат распределения с 49 степенями свободы. Следовательно, нижняя доверительная граница для дисперсии нормально распределенной случайной величины такова:
(n – 1) /70,222 = (49×663,00)/70,222 = 462,63,
а верхняя доверительная граница есть 
(n – 1) /31,555 = (49×663,00)/ 31,555 = 1029,54.
	Полученный доверительный интервал не является симметричным относительно точечной оценки. Нижняя доверительная граница больше, чем в примерах 4 и 5, но и верхняя доверительная граница тоже больше. Несимметричность доверительного интервала в примере 6 приводит к тому, что его трудно сопоставить с симметричными интервалами примеров 4 и 5. Что же касается практических рекомендаций, то они однозначны: поскольку обычно нет основания считать, что результаты измерений имеют нормальное распределение, то при анализе реальных данных надо пользоваться непараметрическими методами.

3.4. Точечное и интервальное оценивание 
среднего квадратического отклонения

	Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение, т.е. неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения s0 – оценивается как дробь
d2 / (4  ).
Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения  исходной случайной величины имеет вид 
- U(p)d / (2 s0) ,
где  – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, а d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше при оценивании дисперсии.
	Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид 
 + U(p)d / (2 ) .
	Пример 7. Для данных о наработке резцов до отказа точечной оценкой для среднего квадратического отклонения является . При доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница такова:
25,75 – 1,96×161,03 / (2×25,75) = 25,75 – 6,13 = 19,62.
Соответственно верхняя доверительная граница симметрична нижней относительно точечной оценки и равна = 25,75 + 6,13 = 31,88.
	Правила интервального оценивания для среднего квадратического отклонения получены из аналогичных правил для оценивания дисперсии с помощью метода линеаризации (см., например, [19, п.2.4]). Доверительный интервал является симметричным, непараметрическим и асимптотическим. 
	Есть и другой способ доверительного оценивания. Поскольку среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень их дисперсии, то доверительные границы можно получить, извлекая квадратные корни из одноименных границ для дисперсии.
	Пример 8. Для данных о наработке резцов до отказа при доверительной вероятности р = 0,95 согласно примеру 4 доверительный интервал для дисперсии – это [347,37; 978,63]. Извлекая квадратные корни, получаем доверительный интервал [18,64; 31,28] для среднего квадратического отклонения, соответствующий тому же значению доверительной вероятности. Он не является симметричным относительно точечной оценки. Его длина 12,64 несколько больше длины симметричного доверительного интервала 12,26 в примере 7.   
	Подход, основанный на гипотезе нормальности распределения результатов наблюдения, связан с использованием распределения хи-квадрат и сводится к извлечению квадратных корней из доверительных границ для дисперсии.
	Пример 9. Применяя формально классический подход к данным о наработке резцов до отказа, исходим из доверительного интервала для дисперсии [462,63; 1029,54], соответствующего доверительной вероятности р = 0,95. Извлекая квадратные корни, находим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения [21,51; 32,09]. Как и следовало ожидать, длина этого несимметричного интервала 10,58 меньше длины непараметрического доверительного интервала, равной 12,68.

3.5. Точечное и интервальное оценивание коэффициента вариации

	Коэффициент вариации V = σ/М(Х) широко используется при анализе конкретных технических, экономических, социологических, медицинских и иных данных (поскольку они, как правило, положительны). Точечной оценкой теоретического коэффициента вариации V является выборочный коэффициент вариации 
Vn =  / 
Дисперсия выборочный коэффициент вариации состоятельно оценивается с помощью вспомогательной величины
D2 = (Vn4 - Vn 2 / 4 + m 4 / (4  2) - m 3 / 3) / n,
где  – выборочное среднее арифметическое,   – выборочная дисперсия, m3  - выборочный третий центральный момент, т.е.
m 3  =  { (X1 – ) 3 + (X2 – )  3  +… + (X n – ) 3 } / n ,
m 4  - выборочный четвертый центральный момент (см. выше), Vn – выборочный коэффициент вариации, n  - объем выборки.
	Нижняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации исходной случайной величины имеет вид 
Vn  - U(p) D,
где Vn – выборочный коэффициент вариации, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и ранее), D – положительный квадратный корень из величины D2, введенной выше.
	Верхняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации исходной случайной величины имеет вид 
Vn  + U(p) D.
	Как и в предыдущих случаях, доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. Он получен в результате применения специальной технологии вывода асимптотических соотношений прикладной статистики. Эта технология в качестве первого шага использует многомерную центральную предельную теорему, примененную к сумме векторов, координаты которых – степени исходных случайных величин. Второй шаг – преобразование предельного многомерного нормального вектора с целью получения интересующего исследователя вектора. При этом используются соображения линеаризации и отбрасываются бесконечно малые величины. Третий шаг – строгое обоснование полученных результатов на стандартном для асимптотических математико-статистических рассуждений уровне. При этом обычно приходится использовать необходимые и достаточные условия наследования сходимости, полученные в монографии [19, п.2.4]. Именно таким образом были получены приведенные выше результаты для выборочного коэффициента вариации. Формулы оказались существенно более сложными, чем в предыдущих случаях. Это объясняется тем, что выборочный коэффициент вариации - функция двух выборочных моментов, а ранее рассматривались либо выборочные моменты поодиночке, либо функция от одного выборочного момента - выборочной дисперсии.
	Пример 10. Для данных о наработке резцов до отказа выборочное среднее арифметическое  = 57,88, выборочная дисперсия   = 663,00, выборочное среднее квадратическое отклонение = 25,75, выборочный третий центральный момент m3 = 14927,91, выборочный четвертый центральный момент m4 = 1702050,71. Следовательно, выборочный коэффициент вариации таков:
Vn = 25,75 / 57,88 = 0,4449.
Рассчитаем значение вспомогательной величины
D2 = ((0,4449)4 – (0,4449)2 / 4 + 1702050,71 / (4×663,00×(57,88)2) -
- 14927,91 / (57,88) 3) / 50 = (0,0392 – 0,0495 + 0,1916 – 0,0770)\50 = 
= 0,1043/50 = 0,002086.
Следовательно, D = 0,04567. При доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница для теоретического коэффициента вариации имеет вид 
0,4449 – 1,96×0,04567 = 0,4449 – 0,0895 = 0,3554,
а верхняя доверительная граница такова:
0,4449 + 0,0895 = 0,5344.
	Среди классических результатов математической статистики, основанных на гипотезе нормальности результатов наблюдений, нет методов нахождения доверительных границ для коэффициента вариации, поскольку задача построения таких границ не выражается в терминах обычно используемых распределений, например, распределений Стьюдента, Фишера и хи-квадрат.
	Примеры применения доверительных границ для коэффициентов вариации при решении прикладных задач приведены, например, в работе [32], посвященной анализу технических характеристик и показателей качества эластомерных материалов и изделий.
	Итак, сформулированы правила непараметрического оценивания обычно используемых характеристик распределения случайной величины. Эти правила основаны на асимптотических результатах математической статистики. Использование методов, разработанных в предположении нормальности распределения, может привести к заметно искаженным выводам в ситуации, когда гипотеза нормальности не выполнена. Практические рекомендации таковы: при анализе реальных данных следует использовать непараметрические доверительные границы.

4. Методы проверки однородности связанных выборок

	В разделе рассмотрены методы, основанные на изучении разностей соответствующих значений двух связанных выборок. Проверяется равенство 0 медианы (критерий знаков) и математического ожидания этих разностей. Гипотеза проверки совпадения функций распределения двух связанных выборок сводится к гипотезе симметрии функции распределения разностей относительно 0. При альтернативе сдвига предлагается использовать критерий знаковых рангов Вилкоксона, а при общей альтернативе – критерий типа омега-квадрат.

4.1. Постановка практической задачи

	Начнем с выдержки из письма главного инженера подмосковного химического комбината (некоторые названия изменены).
	«…Наш комбинат выпускает мастику по ГОСТ (следует номер) и является разработчиком указанного стандарта. В результате исследовательских работ по подбору стандартного метода определения вязкости мастики на комбинате накоплен большой опыт сравнительных данных определения вязкости по двум методам:
	- неразбавленной мастики - на нестандартном приборе фабрики им. Петрова;
	- раствора мастики - на стандартном вискозиметре ВЗ-4.
Просим провести обработку представленных данных современными статистическими методами и выдать заключение о наличии (или отсутствии) зависимости между указанными выше методами определения вязкости мастики. Ваше заключение необходимо для решения спорного вопроса о целесообразности вновь ввести в ГОСТ (следует номер) метода определения вязкости мастики по вискозиметру ВЗ-4, который, по мнению некоторых потребителей, был необоснованно исключен из этого ГОСТ по изменению № 1.
	Приложение: статистика на 3 листах...»
	Комментарий. Вязкость мастики - один из показателей качества мастики. Поставщику и потребителю следует согласовать способы измерения показателей качества. Иначе достаточно часто поставщик (производитель) будет утверждать, что он выполнил условия контракта, а потребитель заявлять, что нет. Простейший метод согласования способов измерения показателей состоит в том, чтобы выбрать один из них и внести в государственный стандарт, который тем самым будет содержать не только описание продукции, перечень ее показателей качества и требований к ним, но и способы измерения этих показателей.

4.2. Заключение по данным, представленным химическим комбинатом

	Для каждой из 213 партий мастики представлены два числа - результат измерения вязкости на нестандартном приборе фабрики им. Петрова и результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4. Требуется установить, дают ли два указанных метода сходные результаты. Если они дают сходные результаты, то нет необходимости вводить в соответствующий ГОСТ указание о методе определения вязкости. Если же методы дают существенно различные результаты, то подобное указание ввести необходимо.
	Опишем вероятностную модель. Считаем, что статистические данные имеют вид  где xi  -результат измерения на нестандартном приборе фабрики им. Петрова в i-ой партии, а yi - результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4 в той же i-ой партии. Пусть ai - истинное значение показателя качества в i-ой партии. Естественно считать, что указанные выше случайные вектора независимы в совокупности. При этом они не являются одинаково распределенными, поскольку отличаются истинными значениями показателей качества ai. Принимаем, что при каждом i случайные величины xi - ai  и yi - ai независимы и одинаково распределены. Это условие и означает однородность связанных выборок. Параметры связи - величины ai . Их наличие не позволяет объединить первые координаты в одну выборку, вторую - во вторую, как делалось в случае проверки однородности двух независимых выборок [24].
	В предположении непрерывности функций распределения из условия однородности в связанных выборках вытекает, что 

	Рассмотрим случайные величины  Из последнего соотношения вытекает, что при справедливости гипотезы однородности для связанных выборок эти случайные величины имеют нулевые медианы. Другими словами, вместо проверки того, что методы измерения вязкости дают схожие результаты, можно проверять равенство 0 медиан величин Zi, т.е. проверять следствие гипотезы однородности связанных выборок.
	Для проверки гипотезы о том, что медианы величин Zi нулевые, применим широко известный критерий знаков (см., например, справочник [27, с.89-91]). Согласно этому критерию необходимо подсчитать, в скольких партиях  и в скольких . Для представленных химическим комбинатом данных  в 187 случаях из 213 и  в 26 случаях из 213.
	Если рассматриваемая гипотеза однородности верна, то число W осуществлений события  имеет биномиальное распределение с параметрами p = 1/2 и n = 213. Математическое ожидание М(W)=106,5, а среднее квадратическое отклонение  Следовательно, интервал  - это интервал 84<W<129. Найденное по данным химического комбината значение W=187 лежит далеко вне этого интервала. Поэтому рассматриваемую гипотезу необходимо отвергнуть (на любом используемом в прикладных работах уровне значимости, в частности, на уровне значимости 1%).
	Таким образом, статистический анализ показывает, что два метода измерения вязкости дают существенно различные результаты - по прибору фабрики им. Петрова результаты измерений, как правило, меньше, чем по вискозиметру ВЗ-4. Это означает, что в соответствующий ГОСТ целесообразно ввести указание на метод определения вязкости.

4.3. Система вероятностных моделей при проверке 
гипотезы однородности связанных выборок

	Как и в случае проверки однородности независимых выборок [24], система вероятностных моделей состоит из трех уровней. Наиболее простая модель - на уровне однородности альтернативного признака - уже рассмотрена. Она сводится к проверке гипотезы о значении параметра биномиального распределения:

	В этой модели применяют "критерий знаков". При справедливости гипотезы однородности число W осуществлений события  имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха p = 1/2 и числом испытаний n. Альтернативная гипотеза состоит в том, что вероятность успеха отличается от 1/2:

Гипотезу p = 1/2 можно проверять как непосредственно с помощью биномиального распределения (используя таблицы или программное обеспечение), так и опираясь на теорему Муавра-Лапласа. Согласно этой теореме 

при всех х, где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Из теоремы Муавра-Лапласа вытекает правило принятия решений на уровне значимости 5%: если

то гипотезу однородности связанных выборок принимают, в противном случае отклоняют. 
	Замечание. Здесь и далее при желании использовать другой уровень значимости применяют в качестве критического значения иной квантиль нормального распределения. Использование предельных теорем допустимо при достаточно больших объемах выборки. По поводу придания точного смысла термину "достаточно большой" в науке продолжаются дискуссии. Обычно считается, что несколько десятков (два-три десятка) - это уже "достаточно много". Более правильно сказать, что ответ зависит от задачи, от ее сложности и практической значимости. 
	Второй уровень моделей проверки однородности связанных выборок - это уровень проверки однородности характеристик, прежде всего однородности математических ожиданий. Исходные данные - количественные результаты измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков хj и уj , j = 1,2,…,n, а непосредственно анализируются их разности Zj = хj  - уj , j = 1,2,…,n. Предполагается, что эти разности независимы в совокупности и одинаково распределены, однако функция распределения неизвестна статистику. Необходимо проверить непараметрическую гипотезу

Альтернативная гипотеза также является непараметрической и имеет вид:

Как и в случае проверки гипотезы согласованности для независимых выборок с помощью критерия Крамера-Уэлча, в рассматриваемой ситуации естественно использовать статистику

где

среднее арифметическое разностей, а 

выборочное среднее квадратическое отклонение. Из Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей и теорем о наследовании сходимости [19] следует, что

при всех х, где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Отсюда вытекает правило принятия решений на уровне значимости 5%: если

то гипотезу однородности математических ожиданий связанных выборок принимают, в противном случае отклоняют.  
	Третий уровень моделей проверки однородности связанных выборок - это уровень проверки однородности (совпадения) функций распределения. Необходимо проверить непараметрическую гипотезу наиболее всеохватного вида:

где

При этом предполагается, что все участвующие в вероятностной модели случайные величины независимы (в совокупности) между собой. 
	Отметим одно важное свойство функции распределения случайной величины Z. Если случайные величины Х и Y независимы и одинаково распределены, то для функции распределения H(x)=P(Z<x) случайной величины Z = X – Y выполнено, как нетрудно видеть, соотношение
H(-x)=1-H(x).
	Это соотношение означает симметрию функции распределения относительно 0. Плотность такой функции распределения является четной функцией, ее значения в точках х и (-х) совпадают.
	Итак, проверка гипотезы однородности связанных выборок в наиболее общем случае сводится к проверке симметрии функции распределения разности Z = X – Y относительно 0.

4.4. Методы проверки гипотезы симметрии

	Рассмотрим методы проверки гипотезы симметрию функции распределения относительно 0. Начнем с обсуждения различных типов отклонений от гипотезы симметрии можно ожидать при альтернативных гипотезах. 
	Рассмотрим сначала частный случай - альтернативу сдвига

В этом случае для проверки гипотезы однородности может быть использован критерий знаковых рангов Вилкоксона (см., например, справочник [30, с.46-53]). 
	Он строится следующим образом. Пусть R(Zj) является рангом |Zj| в ранжировке от меньшего к большему абсолютных значений разностей |Z1|, |Z2|,…,|Zn|, j=1,2,…,n. Положим для j=1,2,…,n

Статистика критерия знаковых рангов имеет вид

Таким образом, нужно просуммировать ранги положительных разностей в вариационном ряду, построенном стандартным образом по абсолютным величинам всех разностей.
	Для практического использования статистики критерия знаковых рангов Вилкоксона либо обращаются к соответствующим таблицам и программному обеспечению, либо применяют асимптотические соотношения. При выполнении нулевой гипотезы статистика

имеет асимптотическое (при ) стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Следовательно, правило принятия решений на уровне значимости 5%: имеет обычный вид: если

то гипотезу однородности связанных выборок по критерию знаковых рангов Вилкоксона принимают, в противном случае отклоняют. 
	Альтернативная гипотеза общего вида записывается как

при некотором х0 . Таким образом, проверке подлежит гипотеза симметрии относительно 0, которую можно переписать в виде
H(x) + H(-x) -1 = 0 .
Для построенной по выборке Zj = хj  - уj , j = 1,2,…,n, эмпирической функции распределения Hn(x) последнее соотношение выполнено лишь приближенно:

Как измерять отличие от 0? По тем же соображениям, что и в статье [24], целесообразно использовать статистику типа омега-квадрат. Соответствующий критерий предложен в работе [33]. Он имеет вид

В работе [33] найдено предельное распределение этой статистики:

В табл.1 приведены асимптотические критические значения рассматриваемой статистики [33], которыми можно пользоваться при объеме выборки n > 20.

Таблица 1. Критические значения статистики .
Значение функции распределения 	Уровень значимости 	Критическое значение х статистики 	
0,90	0,10	1,20	
0,95	0,05	1,66	
0,99	0,01	2,80	

	Как следует из табл.1, правило принятия решений при проверке однородности связанных выборок в наиболее общей постановке и при уровне значимости 5% формулируется так. Вычислить статистику . Если <1,66, то принять гипотезу однородности. В противном случае - отвергнуть.
	Пример. Пусть величины Zj , j=1,2,…,20, таковы:
20, 18, (-2), 34, 25, (-17), 24, 42, 16, 26, 
13, (-23), 35, 21, 19, 8, 27, 11, (-5), 7.
Соответствующий вариационный ряд имеет вид:
(-23)<(-17)<(-5)<(-2)<7<8<11<13<16<18<
<19<20<21<24<25<26<27<34<35<42.
	Для расчета значения статистики  построим табл.2 из 7 столбцов и 20 строк, не считая заголовков столбцов (сказуемого таблицы). В первом столбце указаны номера (ранги) членов вариационного ряда, во втором - сами эти члены, в третьем - значения эмпирической функции распределения при значениях аргумента, совпадающих с членами вариационного ряда. В следующем столбце приведены члены вариационного ряда с обратным знаком, а затем указываются соответствующие значения эмпирической функции распределения. Например, поскольку минимальное наблюдаемое значение равно (-23), то Hn(x)=0 при x<-23, а потому для членов вариационного ряда с 14-го по 20-й в пятом столбце стоит 0. В качестве другого примера рассмотрим минимальный член вариационного ряда, т.е. (-23). Меняя знак, получаем 23. Это число стоит между 13-м и 14-м членами вариационного ряда, 21<23<24. На этом интервале эмпирическая функция распределения совпадает со своим значением в левом конце, поэтому следует записать в пятом столбце значение 0,65. Остальные ячейки пятого столбца заполняются аналогично. На основе третьего и пятого столбцов элементарно заполняется шестой столбец, а затем и седьмой. Остается найти сумму значений, стоящих в седьмом столбце. Подобная таблица удобна как для ручного счета, так и при использовании электронных таблиц типа Excel.

Таблица 2. Расчет значения статистики .
 j	Z(j)	Hn(Z(j))	- Z(j)	Hn(-Z(j))	Hn(Z(j))+
Hn(-Z(j))-1	(Hn(Z(j))+
Hn(-Z(j))-1)2	
1	-23	0,05	23	0,65	-0,30	0,09	
2	-17	0,10	17	0,45	-0,45	0,2025	
3	-5	0,15	5	0,20	-0,65	0,4225	
4	-2	0,20	2	0,20	-0,60	0,36	
5	7	0,25	-7	0,10	-0,65	0,4225	
6	8	0,30	-8	0,10	-0,60	0,36	
7	11	0.35	-11	0,10	-0,55	0,3025	
8	13	0,40	-13	0,10	-0,50	0,25	
9	16	0,45	-16	0,10	-0,45	0,2025	
10	18	0,50	-18	0,05	-0,45	0,2025	
11	19	0,55	-19	0,05	-0,40	0,16	
12	20	0,60	-20	0,05	-0,35	0,1225	
13	21	0,65	-21	0,05	-0,30	0,09	
14	24	0,70	-24	0	-0,30	0,09	
15	25	0,75	-25	0	-0,25	0,0625	
16	26	0,80	-26	0	-0,20	0,04	
17	27	0,85	-27	0	-0,15	0,0225	
18	34	0,90	-34	0	-0,10	0,01	
19	35	0,95	-35	0	-0,05	0,0025	
20	42	1,00	-42	0	0	0	
 
	Результаты расчетов (суммирование значений по седьмому столбцу табл.2) показывают, что значение статистики =3,055. В соответствии с табл.1 это означает, что на любом используемом в прикладных исследованиях уровнях значимости отклоняется гипотеза симметрии распределения относительно 0 (а потому и гипотеза однородности в связанных выборках).

5. Математические методы исследования и теория измерений

	Среди актуальных направлений, в которых развиваются математические методы исследования, обычно выделяют статистику объектов нечисловой природы, а в ней как одну из важнейших составных частей - теорию измерений [34]. За последние десятилетия теория измерений прошла путь от малоизвестного раздела математической психологии до общенаучной концепции, знакомство с которой признается обязательным для исследователей и студентов самых разных специальностей (в качестве примера укажем книгу [35]).
	Рассмотрим основные идеи теории измерений. Эта теория исходит из того, что арифметические действия с используемыми в практической работе числами не всегда имеют смысл. Например, зачем складывать или умножать номера телефонов? Далее, не всегда выполнены привычные арифметические соотношения. Например, сумма знаний двух двоечников не равна знаниям «хорошиста», т.е. для оценок знаний 2+2 не равно 4. Приведенные примеры показывают, что практика использования чисел для описания результатов наблюдений (измерений, испытаний, анализов, опытов) заслуживает методологического анализа. 

5.1. Основные шкалы измерения

	Наиболее простой способ использования чисел - применять их для различения объектов. Например, телефонные номера нужны для того, чтобы отличать одного абонента от другого. При таком способе измерения используется только одно отношение между числами - равенство (два объекта описываются либо равными числами, либо различными). Соответствующую шкалу измерения называют шкалой наименований (при использовании термина на основе латыни - номинальной шкалой; иногда называют также классификационной шкалой). В этой шкале измерены штрих-коды товаров, номера паспортов, ИНН (индивидуальные номера налогоплательщиков) и многие иные величины, выраженные числами. С прикладной точки зрения шкала измерения - это способ приписывания чисел рассматриваемым объектам, соответствующий имеющимся между объектами отношениям.
	Отметим, что числа могут быть приписаны объектам разными способами. Переход от одного способа к другому наблюдаем при замене паспортов или телефонных номеров. Каковы свойства допустимых преобразований? Для шкалы наименований естественно потребовать только взаимной однозначности. Другими словами, применив к результатам измерений взаимнооднозначное преобразование, получаем новую шкалу, столь же хорошо описывающую систему исходных объектов, как и прежняя шкала. 
	Шесть основных типов шкал измерения описаны в табл.1.
	Кроме перечисленных в табл.1, используют и иные типы шкал [36]. Отметим, что в табл.1 выражение «единица измерения произвольна» означает, что она может быть выбрана по соглашению специалистов, но не вытекает из каких-либо фундаментальных соотношений. При измерении времени естественная единица измерения задается периодами обращения небесных тел. Начало отсчета при измерении длины задается длиной отрезка, у которого начало и конец совпадают, и т.д.
	В настоящее время считается необходимым перед применением тех или иных алгоритмов анализа данных установить, в шкалах каких типов измерены рассматриваемые величины. При этом с течением времени тип шкалы измерения определенной величины может меняться. Например, температура сначала измерялась в порядковой шкале (теплее - холоднее). После изобретения термометров она стала измеряться в шкале интервалов (по шкалам Цельсия, Фаренгейта или Реомюра). Температура С по шкале Цельсия выражается через температуру F по шкале Фаренгейта с помощью линейного преобразования
.
С открытием абсолютного нуля температур стал возможным переход к шкале отношений (шкала Кельвина).

Таблица 1. Основные шкалы измерения.
Тип шкалы	Определение шкалы	Примеры	Группа допустимых преобразований 	
Шкалы качественных признаков	
Наиме-нова-ний 	Числа используют для различения объектов	Номера телефонов, паспортов, ИНН, штрих-коды	Все взаимнооднозначные преобразования	
Поряд-ковая	Числа используют для упорядочения объектов	Оценки экспертов, баллы ветров, отметки в школе, полезность, номера домов	Все строго возрастающие преобразования	
Шкалы количественных признаков
(описываются началом отсчета и единицей измерения)	
Интер-валов	Начало отсчета и единица измерения произвольны	Потенциальная энергия, положение точки, температура по шкалам Цельсия и Фаренгейта	Все линейные преобразования φ(x) = ax + b,
a и b произвольны, а>0	
Отно-шений	Начало отсчета задано, единица измерения произвольна	Масса, длина, мощ-ность, напряжение, сопротивление, темпера-тура по Кельвину, цены	Все подобные преобразования φ(x) = ax, а произвольно, а>0	
Разностей	Начало отсчета произвольно, единица измерения задана 	Время	Все преобразования сдвига φ(x) = x + b,
b произвольно	
Абсолютная	Начало отсчета и единица измерения заданы	Число людей в данном помещении	Только тождествен-ное преобразование φ(x) = x	
  
5.2. Требование инвариантности (адекватности) выводов

	Выяснение типов используемых шкал необходимо для адекватного выбора методов анализа данных. Основополагающим требованием является независимость выводов от того, какой именно шкалой измерения воспользовался исследователь (среди всех шкал, переходящих друг в друга при допустимых преобразованиях). Например, если речь о длинах, то выводы не должны зависеть от того, измерены ли длины в метрах, аршинах, саженях, футах или дюймах. 
	Другими словами, выводы должны быть инвариантны относительно группы допустимых преобразований шкалы измерения. Только тогда их можно назвать адекватными, т.е. избавленными от субъективизма исследователя, выбирающего определенную шкалу из множества шкал заданного типа, связанных допустимыми преобразованиями.
	Требование инвариантности выводов накладывает ограничения на множество возможных алгоритмов анализа данных. В качестве примера рассмотрим порядковую шкалу. Одни алгоритмы анализа данных позволяют получать адекватные выводы, другие - нет. Например, в задаче проверки однородности двух независимых выборок алгоритмы ранговой статистики (т.е. использующие только ранги результатов измерений) дают адекватные выводы, а статистики Крамера-Уэлча и Стьюдента - нет. Значит, для обработки данных, измеренных в порядковой шкале, критерии Смирнова и Вилкоксона можно использовать, а критерии Крамера-Уэлча и Стьюдента - нет.
	Оказывается, требование инвариантности является достаточно сильным. Из многих алгоритмов анализа статистических данных ему удовлетворяют лишь некоторые. Покажем это на примере сравнения средних величин.

5.3. Средние по Коши

	Среди всех методов анализа данных важное место занимают алгоритмы усреднения. Еще в 1970-х годах удалось полностью выяснить, какими видами средних можно пользоваться при анализе данных, измеренных в тех или иных шкалах.
	Пусть Х1 , Х2 ,…, Хn  - выборка объема n. Наиболее общее понятие средней величины введено французским математиком первой половины ХIХ в. академиком О. Коши. Средней величиной (по Коши) является любая функция f(X1, X2,...,Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...,Xn, и не больше, чем максимальное из этих чисел. Средними по Коши являются среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое.
	Средние величины используются обычно для того, чтобы заменить совокупность чисел (выборку) одним числом, а затем сравнивать совокупности с помощью средних. Пусть, например, Y1, Y2,...,Yn - совокупность оценок экспертов, "выставленных" одному объекту экспертизы, Z1, Z2,...,Zn - второму. Как сравнивать эти совокупности? Очевидно, самый простой способ - по средним значениям. 
	При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом как основное требование в теории измерений). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. 
	Пусть f(X1, X2,...,Xn) - среднее по  Коши. Пусть среднее по первой совокупности меньше среднего по второй совокупности:
f(Y1, Y2,...,Yn) <  f(Z1, Z2,...,Zn).
Тогда согласно теории измерений для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g (из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале) было справедливо также неравенство 
f(g(Y1), g(Y2),...,g(Yn)) <  f(g(Z1), g(Z2),...,g(Zn)),
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть выполнено для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn и Z1, Z2,...,Zn. И, напомним, для любого допустимого преобразования. Средние величины, удовлетворяющие сформулированному условию, назовем допустимыми (в соответствующей шкале). Согласно теории измерений только допустимыми средними величинами можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.
	С помощью математической теории, развитой в монографии [19], удается описать вид допустимых средних величин в основных шкалах. Сразу ясно, что для данных, измеренных в шкале наименований, из перечисленных выше видов средних можно использовать только моду. 

5.4. Средние величины в порядковой шкале

	Рассмотрим обработку, для определенности, мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Справедливо следующее утверждение.
	Теорема 1. Из всех средних по Коши допустимыми средними в порядковой шкале являются только члены вариационного ряда (порядковые статистики).
	Теорема 1, впервые полученная в статье [37], справедлива при условии, что среднее f(X1, X2,...,Xn) является непрерывной (по совокупности переменных) и симметрической функцией. Последнее означает, что при перестановке аргументов значение функции f(X1, X2,...,Xn) не меняется. Это условие является вполне естественным, ибо среднюю величину находим для совокупности (множества) чисел, а не для последовательности. Множество не меняется в зависимости от того, в какой последовательности мы перечисляем его элементы.
	Согласно теореме 1 в качестве среднего для данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать, в частности, медиану (при нечетном объеме выборки). При четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану. Моду тоже можно использовать - она всегда является членом вариационного ряда. Можно применять выборочные квартили, минимум и максимум, децили и т.п. Но никогда нельзя рассчитывать среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.

5.5. Средние по Колмогорову

	Естественная система аксиом (требований к средним величинам) приводит к так называемым ассоциативным средним. Их общий вид нашел в 1930 г. А.Н.Колмогоров [38]. Теперь их называют «средними по Колмогорову». 
	Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле 
G{(F(X1) + F(X2) +...+ F(Xn))/n},
где F - строго монотонная функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F. Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) = x2, то среднее квадратическое, и т.д. (в последних трех случаях усредняются положительные величины). 	Среднее по Колмогорову - частный случай среднего по Коши. С другой стороны, такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову. В статье [39] впервые доказаны следующие утверждения.
	Теорема 2. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое.
	Таким образом, среднее геометрическое или среднее квадратическое температур (в шкале Цельсия), потенциальных энергий или координат точек не имеют смысла. В качестве среднего надо применять среднее арифметическое. А также можно использовать медиану или моду.
	Теорема 3. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале отношений из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние с F(x) = xс, , и среднее геометрическое.
	Есть ли средние по Колмогорову, которыми нельзя пользоваться в шкале отношений? Конечно, есть. Например, с F(x) = ex.
	Замечание 1. Среднее геометрическое является пределом степенных средних при . 
	Замечание 2. Доказательства теорем 1-3, в том числе формулировки «внутриматематических условий регулярности», приведены в монографии [19]. Перенос на случай взвешенных средних дан в статье [40].
	Аналогично средним величинам могут быть изучены и другие статистические характеристики - показатели разброса, связи, расстояния и др. (см., например, [19, 36]). Нетрудно показать, например, что коэффициент корреляции не меняется при любом допустимом преобразовании в шкале интервалов, как и отношение дисперсий. Дисперсия не меняется в шкале разностей, коэффициент вариации - в шкале отношений, и т.д.
	Приведенные выше результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в экономике, менеджменте, теории экспертных оценок или социологии, но и в инженерном деле, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменных печей. Велико прикладное значение теории измерений в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии.
	При подготовке и принятии инженерных и технико-экономических решений необходимо использовать только инвариантные алгоритмы обработки данных. Нацеленное на прикладные исследования изложение ряда вопросов теории измерений дается в монографиях [18, 19, 21, 36, 41]. 

6. Эконометрическая поддержка контроллинга инноваций

	В настоящее время активно разрабатывается подход к управлению инновационными проектами, основанный на методологии контроллинга.
	Одной из главных причин возникновения и внедрения концепции контроллинга для разработки инноваций на промышленных предприятиях стала необходимость в системной интеграции различных аспектов управления инновационными проектами. Контроллинг обеспечивает методическую и инструментальную базу для поддержки основных функций менеджмента: планирования, учета, контроля и анализа, а также оценки ситуаций для принятия управленческих решений [6].

6.1. Этапы контроллинга инноваций

	По нашему мнению, контроллинг инноваций включает в себя четыре этапа: 
	- оценки реализуемости проекта;
	- информационной поддержки планирования разработки инновационного проекта;
	- информационной поддержки контроля над разработкой (осуществлением) инновационного проекта;
	- информационной поддержки функции анализа.
	На первом этапе контроллеру проекта необходимо ответить на вопрос: достигнет ли предприятие поставленных перед ним целей, если приступит к реализации проекта. Цели проекта, как и цели самого предприятия, должны иметь ясный смысл, результаты, полученные при достижении цели, должны быть измеримы, а заданные ограничения (по времени, рамкам бюджета, выделенным ресурсам и качеству получаемых результатов) - выполнимы. Если при реализации проекта общефирменные цели не достигаются, то подразделение контроллинга вырабатывает предложения об альтернативных вариантах реализации проекта, способных удовлетворить поставленные цели.  
	На этом этапе возникает задача выбора варианта реализации проекта, позволяющего достичь общефирменные цели.
	Для решения этой задачи можно воспользоваться эконометрическими методами [18]. Как известно, эконометрика - это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. 
	Каждый предложенный вариант реализации проекта имеет свои преимущества и недостатки. Он может характеризоваться как количественными экономическими показателями, такими как затраты, поступления и др., техническими показателями, описывающими характеристики качества разрабатываемого продукта, так и качественными показателями, выраженными в виде терминов, например, крошечный, маленький, средний.
	Целесообразно выделить эталонный вариант реализации проекта и его характеристики. Характеристики подбираются таким образом, чтобы проект был оптимальным с точки зрения предъявляемых к нему требований. Чтобы сравнить варианты реализации проекта с эталонным вариантом и выбрать из них лучший, можно применить эконометрические методы, основанные на алгоритмах анализа качественных и количественных данных. Такие методы подробнее рассматриваются ниже.
	На втором этапе осуществляется разработка планово-организационных мероприятий. Подразделение контроллинга разрабатывает методики и инструменты планирования, наилучшим образом подходящие в данных условиях и обеспечивающие наиболее точные результаты. Подготовленный план проверяется на реализуемость, затем решаются вопросы, связанные с координацией участников проекта, с организацией информационного потока, с организацией работ и назначением ответственных.
	На третьем этапе устанавливается время проведения контрольных мероприятий, связанное с выполнением определенных блоков работ. Выбираются подконтрольные показатели, характеризующие финансовое и организационное состояние проекта. Устанавливаются допустимые отклонения выбранных показателей, превышение которого может привести к негативным последствиям. Проводится учет показателей, фиксация отклонений. Выявляются причины и виновники отклонений.
	На заключительном четвертом этапе подразделение контроллинга оценивает влияние выявленных отклонений на дальнейшие шаги реализации проекта. Выясняет, как выявленные отклонения повлияли на основные управляемые параметры проекта. 
	По окончанию цикла, контроллер проекта подготавливает отчет с предложением вариантов решения возникших проблем и изменением плановых величин на следующий период. 

6.2. Эконометрические методы сравнения и выбора

	На первом этапе контроллинга инноваций необходимо решить задачу выбора варианта реализации проекта. Выбор между вариантами очевиден, если один из вариантов лучше другого по всем рассматриваемым показателям. В реальных ситуациях выбора варианты обычно несравнимы - первый лучше по одним показателям, второй - по другим. Для сравнения вариантов приходится прибегать к экспертным технологиям [18, 21]. 
	Одна группа экспертных технологий нацелена на выявление объективного упорядочения вариантов в результате усреднения мнений экспертов. Используют различные способы расчета на основе средних рангов (прежде всего средних арифметических и медиан). Для моделирования результатов парных сравнений применяют теорию люсианов. Для экспертных оценок находят медиану Кемени, и т.д.
	Другая группа экспертных технологий нацелена на получение коэффициентов весомости (важности, значимости) отдельных показателей. Итоговая оценка варианта реализации проекта получается в результате суммирования произведений значений показателей на соответствующие коэффициенты весомости. Иногда эти коэффициенты оцениваются экспертами на основе иерархической системы показателей. Более обоснованным является экспертно-статистический метод, согласно которому на основе обучающей выборки восстанавливается зависимость между показателями варианта реализации инновационного проекта и его итоговой оценкой. 

6.3. Использование теории нечеткости

	 Хотя с момента появления первой книги российского автора по теории нечеткости [42] прошло уже почти 25 лет, только сейчас эта теория начинает широко применяться в исследованиях по экономике и менеджменту. В частности, для сравнения вариантов реализации инновационного проекта и выбора из них лучшего можно использовать подход, основанный на описании качественных характеристик нечеткими множествами. Опишем его, используя работу [43]. 
	Пусть S = {Si|i = 1, 2, ..., n}- множество, состоящее из n вариантов реализации инновационного проекта. Для каждого варианта Si определено m характеристик Qij, j = 1, 2, ..., m. В зависимости от конкретных условий набор характеристик может меняться.
	Необходимо выделить эталонный вариант реализации проекта So и его характеристики Qoj. Характеристики подбираются таким образом, чтобы проект был оптимальным с точки зрения предъявляемых к нему требований.
	Требуется проранжировать на соответствие эталону имеющиеся варианты S реализации инновационного проекта по заданным m характеристикам.
	Для каждой характеристики Qij, согласно рассматриваемой методике, строится нечеткое множество Qij, i = 0, 1, j = 1, 2, ..., m. Для этого сначала определяются возможные значения переменной xj, удовлетворяющие характеристике Qij Предполагается, что они составляют отрезок Xij. Определяется середина qij и полуширина (радиус) δij > 0 отрезка Xij: Таким образом,
.
	Для описания критерия Qij могут применяться различные функции принадлежности. В работе [43] используют функцию принадлежности следующего вида:
.
Исходя из построения множества Xij, в точке qij функция имеет максимум, в пределах множества Xij функция принадлежности принимает значения больше 0,5, а вне Xij – меньшее:

В результате получаем нечеткие множества 

	Чтобы определить, в какой мере характеристика варианта si близка характеристике эталонного варианта so, вычисляют степень равенства vij соответствующих нечетких множеств:
.
Значение максимина достигается в точке пересечения функций принадлежности:
, 
где 
 .
	Произведя взвешенное голосование, получают интегральную оценку vi соответствия совокупности характеристик варианта реализации проекта si совокупности характеристик эталонного варианта so: 
,
где
.
Здесь αj является весом j-го критерия и показывает уровень его важности.
	При обсуждении различных подходов к выбору наилучшего варианта реализации инвестиционного проекта иногда противопоставляют вероятностно-статистические модели и методы теории нечеткости. С методологической точки зрения весьма важно, что такое противопоставление лишено оснований. Давно известно [42], что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. В [18] приведено развернутое обоснование этого утверждения.

Заключение

	В отчете приведены основные результаты исследований по современным статистическим методам и их практическому использованию, проведенных в 2004 г. на факультете «Инженерный бизнес и менеджмент» Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана. 
	Научная и научно-практическая ценность полученных результатов состоит в разработке новых подходов к созданию систем современного эконометрического моделирования; новых эконометрических методов, нацеленных на применение при управлении предприятиями высокотехнологичных отраслей промышленности; а также основ эконометрического обеспечения процессов принятия решений при управлении предприятиями, в частности, в системах контроллинга и логистики.
	Результаты НИР предназначены для использования на предприятиях высокотехнологичных отраслей промышленности (в системах управления, прежде всего контроллинга, в центральных заводских лабораториях, в службах качества, логистики, маркетинга, и т.д.) с целью повышения эффективности их деятельности, повышения обоснованности принимаемых решений. Кроме того, результаты НИР предполагается использовать при подготовке учебников, учебных пособий, конспектов лекций и иных учебно-методических материалов, при чтении лекций и проведении практических занятий по курсам «Прикладная статистика», «Эконометрика» и др., а также в дипломных и диссертационных работах.
	Сайт «Высокие статистические технологии» (http://orlovs.pp.ru) дает представление о состоянии работ по тематике отчета за последние годы.
	Научно-прикладные исследования по разработке, изучению и внедрению современных статистических методов необходимо продолжать и развивать, а также расширять преподавание соответствующих курсов, в том числе при обучении по техническим специальностям. 

Список использованных источников

1. Панде П., Холп Л. Что такое «Шесть сигм»? Революционный метод управления качеством / Пер. с англ. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. - 158 с.
2. Маркова Е.В., Никитина Е.П. Математическая теория эксперимента: история, развитие, будущее / Заводская лаборатория. 2002. Т.68. No.1. С.112-118.
3. Орлов А.И. Создана единая статистическая ассоциация / Вестник Академии наук СССР. 1991. No.7. С.152-153. 
4. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. No.1. С.67-74.
5. Орлов А.И., Гуськова Е.А. Информационные системы управления предприятием в решении задач контроллинга / Контроллинг. 2003. № 1. С.52-59. 
6. Карминский А.М., Оленев Н.И., Примак А.Г., Фалько С.Г. Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основы построения контроллинга в организациях. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 256 с. 
7. Дискуссия по анализу интервальных данных / Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No.7. С.75-95.
8. Сборник трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92). Тт. 1, 2. - М.: МЭИ, 1992, 216 с. + 152 с.
9. Вощинин А.П. Метод оптимизации объектов по интервальным моделям целевой функции. - М.: МЭИ, 1987. 109 с. 
10. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - М.: МЭИ - София: Техника, 1989. 224 с.
11. Вощинин А.П., Акматбеков Р.А. Оптимизация по регрессионным моделям и планирование эксперимента. - Бишкек: Илим, 1991. 164 с.
12. Вощинин А.П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы / Заводская лаборатория. 2002. Т.68. № 1. С. 118-126.
13. Орлов А.И. О влиянии погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма-распределения) / Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1988. С.45-55.
14. Орлов А.И. О развитии реалистической статистики / Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1990. С.89-99.
15. Орлов А.И. Некоторые алгоритмы реалистической статистики / Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1991. С.77-86.
16. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ / Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1993. С.149-158.
17. Орлов А.И. Интервальная статистика: метод максимального правдоподобия и метод моментов / Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1995. С.114-124.
18. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. – 576 с.
19. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 576 с.
21. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 384 с.
22. Орлов А.И. Эконометрическая поддержка контроллинга / Контроллинг. 2002. №1. С.42-53.
23. Орлов А.И Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / Заводская лаборатория. 1991. Т.57. № 7. С.64-66.
24. Орлов А.И. О проверке однородности двух независимых выборок / Заводская лаборатория. 2003. Т.69. No.1. С.55-60.
25. Орлов А.И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. №7. С.40-42.
26. Орлов А.И. Некоторые нерешенные вопросы в области математических методов исследования / Заводская лаборатория. 2002. Т.68. No.3. С.52-56.
27. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.
28. Орлов А.И. Метод моментов проверки согласия с параметрическим семейством распределений / Заводская лаборатория». 1989. Т.55. No.10. С.90-93.
29. Орлов А.И. Проблема множественных проверок статистических гипотез / Заводская лаборатория. 1996. Т.62. No.5. С.51-54.
30. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с. 
31. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Наука, 1984. - 472 с.
32. Орлов А.И., Друянова Г.Б. Непараметрическое оценивание коэффициентов вариации технических характеристик и показателей качества / Надежность и контроль качества. 1987. No.7. С.10-16.
33. Орлов А.И. О проверке симметрии распределения / Теория вероятностей и ее применения. 1972. Т.17. No.2. С.372-377.
34. Горский В.Г., Орлов А.И. Математические методы исследования: итоги и перспективы / Заводская лаборатория. 2002. Т.68. No.1. С.108-112.
35. Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). - М.: МЗ-Пресс, 2004. - 67 с.
36. Толстова Ю.Н. Измерения в социологии. - М.: Инфра-М, 1998. - 352 с.
37. Орлов А.И. Допустимые средние в некоторых задачах экспертных оценок и агрегирования показателей качества / Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. - М.: Наука, 1974. С. 388-393.
38. Колмогоров А.Н. Об определении среднего / Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 136–138.
39. Орлов А.И. Допустимые преобразования в задаче сравнения средних. Пси-постоянные статистики / Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. С.121-127. 
40. Орлов А.И. Связь между средними величинами и допустимыми преобразованиями шкалы / Математические заметки. 1981. Т. 30. №4. С. 561–568.
41. Федосеев В.Н., Орлов А.И., Ларионов В.Г., Козьяков А.Ф. Управление промышленной и экологической безопасностью: Учебное пособие. 2-е издание. - М.: Изд-во УРАО, 2003. – 220 с.
42. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64 с.
43. Гермашев И.В., Дербишер В.Е., Морозенко Т.Ф., Орлова С.А. Оценка качества технических объектов с использованием нечетких множеств / Заводская лаборатория. 2001. Т.67. №1. С 65-68.